Question

20．已知函数f（x）=log₂（2x）•log₂（4x），且$\frac{1}{4}$≤x≤4．
（1）求f（$\sqrt{2}$）的值；
（2）若令t=log₂x，求实数t的取值范围；
（3）将y=f（x）表示成以t（t=log₂x）为自变量的函数，并由此求函数y=f（x）的最小值与最大值及与之对应的x的值．

Answer 1

分析 （1）代值计算对数即可；
（2）由函数t=log₂x在[$\frac{1}{4}$，4]上是增函数，代值计算对数可得；
（3）换元可得f（x）=t²+3t+2，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log₂（2x）•log₂（4x），且$\frac{1}{4}$≤x≤4．
∴f（$\sqrt{2}$）=log₂（2$\sqrt{2}$）•log₂（4$\sqrt{2}$）=log₂${2}^{\frac{3}{2}}$•log₂${2}^{\frac{5}{2}}$=$\frac{3}{2}×\frac{5}{2}$=$\frac{15}{4}$；
（2）∵函数t=log₂x在[$\frac{1}{4}$，4]上是增函数，
∴当$\frac{1}{4}$≤x≤4时，-2=log₂$\frac{1}{4}$≤t=log₂x≤log₂4=2，
故实数t的取值范围为[-2，2]；
（3）f（x）=log₂（2x）•log₂（4x）
=（1+log₂x）（2+log₂x）=（log₂x）²+3log₂x+2=t²+3t+2，
令g（t）=t²+3t+2=（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，t∈[-2，2]，
由二次函数可知当t=-$\frac{3}{2}$时，函数取最小值-$\frac{1}{4}$，
此时log₂x=-$\frac{3}{2}$，解得x=${2}^{-\frac{3}{2}}$；
当t=2时，函数取最大值12，
此时log₂x=2，解得x=4．

点评 本题考查对数函数的图象和性质，涉及换元法和二次函数区间的最值，属中档题．