题目内容
已知a、b、c、d都是正数，若（ab+cd）（ac+bd）≥kabcd恒成立，则k的取值范围为 ．
考点：不等式的证明
专题：不等式的解法及应用
分析：依题意，由（ab+cd）（ac+bd）≥kabcd⇒k≤
+
+
+
，利用基本不等式易求（
+
+
+
）min=4，从而可得k的取值范围．
| a |
| d |
| b |
| c |
| c |
| b |
| d |
| a |
| a |
| d |
| b |
| c |
| c |
| b |
| d |
| a |
解答：
解：∵a、b、c、d都是正数，（ab+cd）（ac+bd）≥kabcd恒成立，
∴k≤
=
=
+
+
+
，
∵
+
+
+
=（
+
）+（
+
）≥2+2=4（当且仅当a=d，c=b时取“=”），
∴（
+
+
+
）min=4，
∴k≤4，
∴k的取值范围为（-∞，4]，
故答案为：（-∞，4]．
∴k≤
| (ab+cd)(ac+bd) |
| abcd |
| a2bc+b2ad+c2ad+d2bc |
| abcd |
| a |
| d |
| b |
| c |
| c |
| b |
| d |
| a |
∵
| a |
| d |
| b |
| c |
| c |
| b |
| d |
| a |
| a |
| d |
| d |
| a |
| b |
| c |
| c |
| b |
∴（
| a |
| d |
| b |
| c |
| c |
| b |
| d |
| a |
∴k≤4，
∴k的取值范围为（-∞，4]，
故答案为：（-∞，4]．
点评：本题考查不等式的证明，着重考查基本不等式的应用，由（ab+cd）（ac+bd）≥kabcd⇒k≤
+
+
+
是关键，考查等价转化思想与运算推理能力，属于中档题．
| a |
| d |
| b |
| c |
| c |
| b |
| d |
| a |
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B、
| ||||
C、
| ||||
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|
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