Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为

2

2

，P是椭圆上一点，且△PF₁F₂面积的最大值等于2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点M（0，2）作直线l与直线MF₂垂直，试判断直线l与椭圆的位置关系．
（Ⅲ）直线y=2上是否存在点Q，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）通过椭圆性质列出a，b，c的方程，其中离心率e=

c

a

，分析图形知道当点P在短轴端点时，△PF1F2 面积取最大值，从而建立关于a，b，c的方程，解出a²，b²，c²，即求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）列出过定点直线的方程，其与直线MF₂垂直，求出其斜率，联立椭圆方程，得出△=0，判断出直线l与椭圆的位置关系．
（Ⅲ）对于存在性问题，要先假设存在，先设切线y=k（x-m）+2，与椭圆联立，利用△=0，得出关于斜率k的方程，利用两根之积公式k₁k₂=-1，求出Q点坐标．

解答： 解：（Ⅰ）∵点P在椭圆上，∴-b≤y_p≤b，
∴当|y_p|=b时，△PF₁F₂面积最大，
且最大值为

1

2

|F1F2||yp|=

1

2

•2c•b=bc=2，
又∵e=

c

a

=

2

2

，
∴a²=4，b²=c²=2，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（

2

，0），
∴kMF1=-

2

2

=-

2

，
∴直线l的斜率kl=

2

2

，直线l的方程

2

2

x+2，
由

x2 4 + y2 2 =1 y= 2 2 x+2

，消去y，整理，得：
x2+2

2

x+2=0，△=(2

2

)2-8=0，
∴直线l与椭圆相切．
（Ⅲ）假设直线y=2上存在点Q满足题意，
设Q（m，2），当m=±2时，从Q点所引的两条切线不垂直．
当m≠±2时，设过点Q向椭圆所引的切线的斜率为k，则l的方程为y=k（x-m）+2，
由

y=k(x-m)+2 x2 4 + y2 2 =1

，消去y，整理得：
（1+2k²）x²-4k（mk-2）x+2（mk-2）²-4=0，
∵△=16k²（mk-2）²-4（1+2k²）[2（mk-2）²-4]=0，
∴（m²-4）k²-4mk+2=0，*
设两条切线的斜率分别为k₁，k₂，
则k₁，k₂是方程（m²-4）k²-4mk+2=0的两个根，
∴k₁k₂=

2

m2-4

=-1，
解得m=±

2

，点Q坐标为（

2

，2），或（-

2

，2）．
∴直线y=2上两点（

2

，2），（-

2

，2）满足题意．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的判断，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，此题较难，分类讨论要全面．