Question

8．动点P在椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，定点A（0，5），求AP的最大值．

Answer 1

分析 设P（5cosθ，4sinθ），利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性与值域、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：设P（5cosθ，4sinθ），
则|AP|=$\sqrt{（5cosθ）^{2}+（4sinθ-5）^{2}}$
=$\sqrt{25co{s}^{2}θ+16si{n}^{2}θ-40sinθ+25}$=$\sqrt{-9si{n}^{2}θ-40sinθ+50}$
=$\sqrt{-9（sinθ+\frac{20}{9}）^{2}+\frac{850}{9}}$≤9，当且仅当sinθ=-1时取等号．
∴AP的最大值为9．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、三角函数的单调性与值域、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．