Question

设函数f（x）=

1-x

1+x

．
（Ⅰ）若f（a）=-

1

3

，求实数a的值；
（Ⅱ）求证：f（

1

x

）=-f（x）（x≠0且x≠-1）；
（Ⅲ）求f（

1

2012

）+f（

1

2011

）+…+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+…+f（2011）+f（2012）的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的值,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用f（a）=-

1

3

，解方程即可求实数a的值；
（Ⅱ）利用函数的解析式，直接由做至右证明f（

1

x

）=-f（x）（x≠0且x≠-1）；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结果，直接求f（

1

2012

）+f（

1

2011

）+…+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+…+f（2011）+f（2012）的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(a)=

1-a

1+a

=-

1

3

，（2分）
∴a=2．（4分）
（Ⅱ）∵f(x)=

1-x

1+x

，
∴f(

1

x

)=

1- 1 x

1+ 1 x

=

x-1

x+1

=-

1-x

1+x

，（7分）
∴f(

1

x

)=-f(x)．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知f(

1

x

)+f(x)=0．（10分）
∴f(

1

2012

)+f(2012)=0，f(

1

2011

)+f(2011)=0，…，f(

1

2

)+f(2)=0．（11分）
又∵f（1）=0，∴原式=0．（12分）

点评：本题考查函数的零点，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．