题目内容

1．若点（θ，0）是函数f（x）=sinx+3cosx的一个对称中心，则cos2θ+sinθcosθ=-$\frac{11}{10}$．

分析 利用三角函数的图象的对称性求得tanθ的值，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得所给式子的值．

解答 解：∵点（θ，0）是函数f（x）=sinx+3cosx的一个对称中心，∴sinθ+3cosθ=0，∴tanθ=-3，
则cos2θ+sinθcosθ=$\frac{{cos}^{2}θ{-sin}^{2}θ+sinθcosθ}{{sin}^{2}θ{+cos}^{2}θ}$=$\frac{1{-tan}^{2}θ+tanθ}{{tan}^{2}θ+1}$=$\frac{1-9-3}{9+1}$=-$\frac{11}{10}$，
故答案为：$-\frac{11}{10}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象的对称性，同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．

练习册系列答案
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11．下列命题中，正确的命题序号是①③④．
①已知a∈R，两直线l1：ax+y=1，l2：x+ay=2a，则“a=-1”是“l1∥l2”的充分条件；
②命题p：“?x≥0，2x＞x2”的否定是“?x0≥0，2x0＜x02”；
③“sinα=$\frac{1}{2}$”是“α=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z”的必要条件；
④已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”的充要条件是“a＞$\frac{1}{b}$”．
12．已知i是虚数单位，设1+ai=$\frac{2+bi}{i}$（a、b为实数），则a+bi在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．如图是半径分别为1，2，3的三个同心圆，现随机向最大圆内抛一粒豆子，则豆子落入图中阴影部分的概率为$\frac{1}{3}$．
16．已知i为虚数单位，复数z满足i•z=（1-2i）2，则|z|的值为（　　）
A．2B．3C．$2\sqrt{3}$D．5
6．已知函数f（x）=lnx-mx2+（1-2m）x+1．
（1）当m=1时，求函数f（x）的单调区间与极值；
（2）若m∈Z，关于x的不等式f（x）≤0恒成立，求m的最小值．
13．有三名男生和3名女生参加演讲比赛，每人依次按顺序出场比赛，若出场时相邻两个女生之间至少间隔一名男生，则共有（　　）种不同的排法．
A．108B．120C．72D．144
10．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法-“三斜求积术”，即△ABC的面积S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{a}^{2}{c}^{2}-（\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2}）^{2}}]$．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b=2，且tanC=$\frac{\sqrt{3}sinB}{1-\sqrt{3}cosB}$，则△ABC的面积S的最大值为$\sqrt{5}$．
12．已知函数f（x）=ex-f（1）x2+2f′（0）x-e（e是自然对数的底数，f′（0）是函数f（x）在x=0的导数）
（Ⅰ）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若g（x）=$\frac{3}{2}$x2-x+1，解关于x的不等式f（x）+e≥g（x）．

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