题目内容

已知函数f（x）=ln
ex
e-x
，若f（
e
2013
）+f（
2e
2013
）+…+f（
2012e
2013
）=503（a+b），则a2+b2的最小值为（　　）
A、6B、8C、9D、12
考点：对数的运算性质
专题：函数的性质及应用
分析：利用f（x）+f（e-x）=ln
ex
e-x
+ln
e(e-x)
x
=lne2=2，可得a+b=4，再利用基本不等式的性质即可得出．
解答： 解：∵f（x）+f（e-x）=ln
ex
e-x
+ln
e(e-x)
x
=lne2=2，
∴503（a+b）=f（
e
2013
）+f（
2e
2013
）+…+f（
2012e
2013
）=
1
2
[f(
e
2013
)+f(
2012e
2013
)+f(
2e
2013
)+f(
2011e
2013
)+…+f(
2012e
2013
)+f(
e
2013
)]=
1
2
×[2×2012]=2012，
∴a+b=4，
∴a2+b2≥
(a+b)2
2
=
42
2
=8，当且仅当a=b=2时取等号．
故选：B．
点评：本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
如图是用程序语句表示的一个问题的算法，试根据其画出程序框图．
在△ABC中，若
3
a=2bsinA，则B为（　　）
A、
π
3
B、
π
6
C、
π
6
或
5π
6
D、
π
3
或
2π
3
在正项等比数列{an}中，lga3+lga6+lga9=3，则a2a10的值是（　　）
A、100B、10C、9D、3
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s的值为（　　）
A、62B、126
C、254D、510
已知{an}是等差数列，a4+a6=6，a5=
 
．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15＞0，S16＜0，则当Sn最大时，n=（　　）
A、6B、7C、8D、9
已知函数g（x）=alnx-（1+a）x，h（x）=-
1
2
x2，其中a为实数．
（1）令f（x）=g（x）-h（x），求函数f（x）的单调增区间；
（2）若对定义域内的所有x，函数g（x）的图象都不可能在h（x）的图象的下方，求实数a的取值范围；
（3）对任意的正整数s、t，试比较代数式
1
ln(s+1)
+
1
ln(s+2)
+…+
1
ln(s+t)
与
t
s2+st
的大小关系并证明．
已知f（x）=ax2-bx+c（a，b∈R），f（-1）=0．对任意x∈R，f（x）-x≥0恒成立．当x∈（0，2）时，f(x)≤
x2+1
2
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g(x)=log2(x2+ax-9)的定义域为[1，2]．对任意x1，x2∈[-
1
2
，
3
2
]，不等式|f（2x2）-f（2x1）|≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

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