Question

已知f（x）=ax²-bx+c（a，b∈R），f（-1）=0．对任意x∈R，f（x）-x≥0恒成立．当x∈（0，2）时，f(x)≤

x2+1

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g(x)=log2(x2+ax-9)的定义域为[1，2]．对任意x1，x2∈[-

1

2

，

3

2

]，不等式|f（2x₂）-f（2x₁）|≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）利用f（-1）=0得到参数a、b、c的一个关系式，再利用x=1时的特殊情况，得到f（1）≥1，f（1）≤1，从而f（1）=1，又得到参数a、b、c的一个关系式，再根据任意f（x）-x≥0对于x∈R恒成立，由函数图象的特征，求出参数a、b、c的值，得到本题结论；
（2）在不等式|f（2x₂）-f（2x₁）|≤g（x）中，由于x1，x2∈[-

1

2

，

3

2

]的任意性，求出f（2x）在区间[-

1

2

，

3

2

]上的最大值和最小值，从而得到g（x）≥4，参变量分离后，求出关于x的代数的最值，得到实数a的取值范围，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²-bx+c（a，b∈R），f（-1）=0，
∴a-b+c=0．
∵对任意x∈R，f（x）-x≥0恒成立．
∴f（1）≥1．
又∵当x∈（0，2）时，f(x)≤

x2+1

2

，
∴f（1）≤1．
∴f（1）=1．
∴a-b+c=1，
∴a+c=

1

2

，b=-

1

2

．
∵对任意x∈R，f（x）-x≥0恒成立，
∴ax2-

1

2

x+

1

2

-a≥0对任意x∈R恒成立，
∴

a＞0 △≤0

，
∴a=c=

1

4

，
∴函数f（x）的解析式为：f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

．
（2）由（1）知：f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

．
∴f（2x）=x²+x+

1

4

，
当x∈[-

1

2

，

3

2

]时，[f（2x）]_max=4，[f（2x）]_min=0，
∵对任意x1，x2∈[-

1

2

，

3

2

]，不等式|f（2x₂）-f（2x₁）|≤g（x）恒成立，
∴g（x）≥4．
∴log₂（x²+ax-9）≥log₂16，
∴x²+ax-25≥0，
∵函数g(x)=log2(x2+ax-9)的定义域为[1，2]，
∴a≥

25-x2

x

=

25

x

-x，
∵

25

x

-x在区间[1，2]上单调递减，
∴

25

x

-x≤

25

1

-1=24，
∴a≥24．
∴实数a的取值范围是[24，+∞）．

点评：本题考查了二次函数的图象与性质和恒成立问题，本题难度适中，有一定的计算量，属于中档题．