Question

5．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx的图象与函数g（x）=3sin²x-λ（λ∈R）的图象在$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上有两个交点，则实数λ的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{{3-2\sqrt{3}}}{2}，0]$
• B． $（\frac{{3-2\sqrt{3}}}{2}，3]$
• C． $（\frac{{3-2\sqrt{3}}}{2}，\frac{{3+2\sqrt{3}}}{2}]$
• D． $（\frac{{3-2\sqrt{3}}}{2}，\frac{{3+2\sqrt{3}}}{2}]$

Answer 1

分析 由题意，令函数F（x）=f（x）-g（x），f（x）和g（x）交点问题转化为F（x）的零点问题，又令F（x）=0转化为三角函数图象与直线的交点问题，在$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上求出三角函数的值域，利用图象可得解．

解答 解：由题意，令函数F（x）=f（x）-g（x），
即F（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-3sin²x+λ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$cos2x+λ$-\frac{3}{2}$=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+λ$-\frac{3}{2}$．
要求F（x）的零点，令F（x）=0，可得$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+λ$-\frac{3}{2}$=0．
转化为函数y=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）与y=$\frac{3}{2}-λ$图象的交点问题．
当x在$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上时，
令2x+$\frac{π}{3}$=u，
则：u∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]．
可得y=$\sqrt{3}$sinu的图象如下：
从图象看出：$-\frac{1}{2}×\sqrt{3}$≤$\frac{3}{2}-λ$$＜\sqrt{3}$时，图象由两个交点，
∴$-\frac{2+\sqrt{3}}{2}≤$-λ＜$\frac{2\sqrt{3}-3}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了三角函数交点的问题，转化为令函数零点的问题，构造成新函数，利用图象求解，属于中档题．