Question

如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min．在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cosA＝，cosC＝．

(1) 求索道AB的长；

(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3) 为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？

Answer 1

 (1) 在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝．

从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝．

由正弦定理＝，得AB＝×sinC＝×＝1 040(m)．

所以索道AB的长为1 040 m．

(2) 假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得

d²＝(100＋50t)²＋(130t)²－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t²－70t＋50)，

因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．

(3) 由正弦定理＝，得BC＝×sinA＝×＝500(m)．

乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C．设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．