Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²，n∈N^*．
（1）若b_n=

an

2n

，求数列{b_n}的前n项和P_n；
（2）若c_n=

Sn

2n

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）求数列的前n项和求出数列的通项公式，代入b_n=

an

2n

后由错位相减法求其前n项和；
（2）把S_n=n²代入c_n=

Sn

2n

，利用错位相减法求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解（1）由S_n=n²，得a₁=S₁=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
验证n=1时成立，
∴a_n=2n-1，
∴P_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

-

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

．

1

2

Pn=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

．
两式作差得：

1

2

Pn=

1

2

+

2

22

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

，
∴Pn=1+1+

1

2

+

1

22

+… +

1

2n-2

-

2n-1

2n

=2+1+

1

2

+

1

22

+… +

1

2n-2

-

2n-1

2n

-1，
则Pn=

2[1- 1 2n ]

1- 1 2

-

2n-1

2n

-1=3-

2n+3

2n

；
（2）c_n=

Sn

2n

=

n2

2n

．
Tn=

1

2

+

22

22

+…+

n2

2n

，

1

2

Tn=

1

22

+

22

23

+…+

(n-1)2

2n

+

n2

2n+1

，
两式作差得：

1

2

Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

-

n2

2n+1

，
∴

1

2

Tn=Pn-

n2

2n+1

，

1

2

Tn=3-

2n+3

2n

-

n2

2n+1

，
则Tn=6-

n2+4n+6

2n

．

点评：本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．