Question

已知

.

a

=（cos

π

4

x，1），

.

b

=（f（x），2sin

π

4

x，1），

.

a

∥

.

b

，数列{a_n}满足：{a₁=

1

2

，a_n+1=f（a_n），n∈N^*}．
（1）用数学归纳法证明：0＜a_n＜a_n+1＜1；
（2）已知a_n≥

1

2

，证明a_n+1-

π

4

a_n＞

4-π

4

；
（3）设T_n是数列{a_n}的前n项和，试判断T_n与n-3的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）先根据

a

∥

b

得出an+1=f(an)=sin(

π

2

an)下面用数学归纳法证明：0＜a_n＜a_n+1＜1．
（Ⅱ）要证an+1-

π

4

an＞

4-π

4

，即证sin(

π

2

an)-

π

4

an-

4-π

4

＞0，其中

1

2

≤an＜1．
令g(x)=sin(

π

2

x)-

π

4

x-

4-π

4

.x∈[

1

2

，  1)．利用导数研究在x∈[

1

2

，  1)上的最值问题，先求出函数的极值，往往求出的极大值就是最大值，即可证得即an+1-

π

4

an＞

4-π

4

；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知1-an+1＜

π

4

(1-an)＜(

π

4

)2(1-an-1)＜(

π

4

)n(1-a 1)=(

π

4

)n

1

2

.  n∈N*从而
∴(1-a1)+(1-a2)++(1-an)＜

1

2

+

1

2

•(

π

4

)++

1

2

•(

π

4

)n-1＜

1 2

1- π 4

=

2

4-π

．
结合放缩法即可证明得T_n＞n-3．

解答：解：（I）∵

a

∥

b

，
∴cos(

π

4

x)•2sin(

π

4

x)-f(x)=0．
∴f(x)=sin(

π

2

x)．
∴an+1=f(an)=sin(

π

2

an)．（1分）
下面用数学归纳法证明：0＜a_n＜a_n+1＜1．
①n=1时，a1=

1

2

，  a2=sin(

π

2

a1)=sin

π

4

=

2

2

.  ∴0＜a1＜a2＜1，
故结论成立．
②假设n=k时结论成立，即0＜ak＜ak+1＜1， ∴ 0＜

π

2

ak＜

π

2

ak+1＜

π

2

．
∴0＜sin(

π

2

ak)＜sin(

π

2

ak+1)＜1，
即0＜a_k+1＜a_k+2＜1．
也就是说n=k+1时，结论也成立．
由①②可知，对一切n∈N^*均有0＜a_n＜a_n+1＜1．（4分）
（Ⅱ）要证an+1-

π

4

an＞

4-π

4

，即证sin(

π

2

an)-

π

4

an-

4-π

4

＞0，其中

1

2

≤an＜1．
令g(x)=sin(

π

2

x)-

π

4

x-

4-π

4

.x∈[

1

2

，  1)．
由g′(x)=

π

2

cos(

π

2

x)-

π

4

=

π

2

[cos(

π

2

x)-

1

2

]=0，得x=

2

3

．（6分）

x	( 1 2 ，   2 3 )	2 3	( 2 3 ，  1)
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘

又g（1）=0，g(

1

2

)=

2

2

-

π

8

-

4-π

4

=

4 2 +π-8

8

＞0．
∴当x∈[

1

2

，  1)，g（x）＞0．
∴sin(

π

2

x)-

π

4

x＞

4-π

4

．
∴sin(

π

2

an)-

π

4

an＞

4-π

4

．
即an+1-

π

4

an＞

4-π

4

．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
1-an+1＜

π

4

(1-an)＜(

π

4

)2(1-an-1)＜(

π

4

)n(1-a 1)=(

π

4

)n

1

2

.  n∈N*．（11分）
∴(1-a1)+(1-a2)++(1-an)＜

1

2

+

1

2

•(

π

4

)++

1

2

•(

π

4

)n-1＜

1 2

1- π 4

=

2

4-π

．
∴Tn=a1+a2++an＞n-

2

4-π

．（13分）
又

2

4-π

-3=

3π-10

4-π

＜0，
即n-

2

4-π

＞n-3．
∴T_n＞n-3．（14分）

点评：本题考查数列与向量的综合，解题时要注意公式有灵活运用．本题还考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，处理方法是当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．