Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=AD=2，AA₁=1，E为BB₁的中点．
（1）求证：B₁D∥平面AEC；
（2）求证：AC⊥B₁D；
（3）求三棱锥E-ACD的体积．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线性质证明线线平行，再利用线面平行的判定，可证B₁D∥平面AEC；
（2）利用线面垂直的判定证明AC⊥平面BB₁D，进而可得AC⊥B₁D；
（3）求三棱锥E-ACD的体积，即求三棱锥E-ACB的体积，利用体积公式可得结论．

解答：（1）证明：连接BD，交AC于O，连接OE，则

∵E为BB₁的中点，O为BD的中点
∴B₁D∥OE
∵B₁D?平面AEC，OE?平面AEC
∴B₁D∥平面AEC；
（2）∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=AD=2，∴AC⊥B₁D
∵BB₁⊥平面ABCD，∴BB₁⊥AC
∵BB₁∩B₁D=B₁，∴AC⊥平面BB₁D
∴AC⊥B₁D；
（3）求三棱锥E-ACD的体积，即求三棱锥E-ACB的体积，
∵AB=AD=2，AA₁=1，E为BB₁的中点
∴三棱锥E-ACB的体积=

1

3

×

1

2

×2×2×

1

2

=

1

3

∴三棱锥E-ACD的体积为

1

3

．

点评：本题考查线面平行，线面垂直，考查三棱锥体积的计算，掌握线面平行、垂直的判定与性质是关键．