Question

20．（1）求证：cotα=tanα+2cot2α；
（2）请利用（1）的结论证明：cotα=tanα+2tan2α+4cot4α；
（3）请你把（2）的结论推到更一般的情形，使之成为推广后的特例，并加以证明：
（4）化简：tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°．

Answer 1

分析 （1）tanα+2cot2α=tanα+2×$\frac{1-ta{n}^{2}α}{2tanα}$，由此能证明cotα=tanα+2cot2α．
（2）由cotα=tanα+2cot2α，得到tanα+2tan2α+4cot4α=cotα-2cot2α+2cos2α-4cot4α+4cot4α，由此能证明cotα=tanα+2tan2α+4cot4α．
（3）一般地，cotα=tanα+2tan2α+2²tan2²α+…+2^n-1tan2^n-1α+2ⁿcot2ⁿα，n∈N^*．再由合情推量进行证明．（4）利用（3）的一般结论直接化简．

解答 证明：（1）tanα+2cot2α=tanα+$\frac{2}{tan2α}$
=tanα+2×$\frac{1-ta{n}^{2}α}{2tanα}$
=tanα+$\frac{1}{tanα}$-tanα
=cotα，
∴cotα=tanα+2cot2α．
（2）∵cotα=tanα+2cot2α，
∴tanα+2tan2α+4cot4α
=cotα-2cot2α+2cos2α-4cot4α+4cot4α
=cotα，
∴cotα=tanα+2tan2α+4cot4α．
解：（3）一般地，cotα=tanα+2tan2α+2²tan2²α+…+2^n-1tan2^n-1α+2ⁿcot2ⁿα，n∈N^*．
证明：∵cotα=tanα+2cot2α，∴cot2α=tan2α+2cot4α，
∴cotα=tanα+2tan2α+4cot4α=tanα+2tan2α+2²cot2²α，
以此类推得cotα=tanα+2tan2α+2²tan2²α+…+2^n-1tan2^n-1α+2ⁿcot2ⁿα，n∈N^*．
（4）tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°
=tan5°+2tan10°+4tan20°+8cot40°
=cot5°．

点评 本题考查三角函数的证明、化简，是中档题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式、正切二倍角公式能求出结果．