Question

16．已知函数f（x）=|x-1|+|x+3|的最小值为m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若正实数a，b，c满足a（2a+2c+b）=m-bc，求3a+b+c的最小值．

Answer 1

分析 （1）由绝对值不等式得到最小值．
（2）由基本不等式得到最小值．

解答 （1）∵f（x）=|x-1|+|x+3|≥|（x-1）-（x+3）|=4，
∴当且仅当-3≤x≤1时，f（x）取最小值，且为4，
∴m=4；
（2）已知正实数a，b，c满足a（2a+2c+b）=m-bc，m=4，
可得2a²+2ac+ab+bc=4，
（a+c）（2a+b）=4，
由基本不等式得，
3a+b+c≥2$\sqrt{（a+c）（2a+b）}$=4，
∴3a+b+c的最小值为4．

点评 本题考查绝对值不等式和基本不等式．