Question

(本小题满分16分)
已知数列和，对一切正整数n都有：
成立．
（Ⅰ）如果数列为常数列，，求数列的通项公式；
（Ⅱ）如果数列的通项公式为，求证数列是等比数列．
（Ⅲ）如果数列是等比数列，数列是否是等差数列？如果是，求出这个数列的通项公式；如果不是，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）．
（Ⅱ）数列是4为首项，公比为3的等比数列． 
（Ⅲ）  …
若时，，数列为等差数列．
若时，∵a₂－a₁≠a₃－a₂ ,
∴，不是等差数列．
故时，数列为等差数列；时数列不为等差数列……16分

（本小题满分16分）
（Ⅰ），由已知得：，
将用迭代得：．（）
两式相减得：，当时，适合
∴数列的通项公式为．      ………………4分
（Ⅱ），由已知得：，
将用迭代得：．（n≥2）
两式相减得：，  ………………………7分     
将用迭代得：．
两式相减得：，经检验也适合．
所以数列的通项公式为．
故数列是4为首项，公比为3的等比数列．   ………………10分
（Ⅲ）设数列的首项为，公比为，由已知得：

即：
即：
所以：    ………………………13分
若时，，数列为等差数列．
若时，∵a₂－a₁≠a₃－a₂ ,
∴，不是等差数列．
故时，数列为等差数列；时数列不为等差数列……16分