Question

若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为

 

．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）,球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O₁和外切圆⊙O₂，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O₁的半径为r=1，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．

解答： 解：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O₁和外切圆⊙O₂，
且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，
由题意⊙O₁的半径为r=1，
∴△ABC的边长为2

3

，
∴圆锥的底面半径为

3

，高为3，
∴V=

1

3

×π×3×3=3π．
故答案为：3π

点评：本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积，其中根据已知分析出圆锥的底面半径和高，是解答的关键．