Question

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）设的导函数为，若有两个不相同的零点．

① 求实数的取值范围；

② 证明：．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）①，②见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）①通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可；

②问题转化为证，即证，设函数，根据函数的单调性证明即可．

（1）的定义域为，且．

当时，成立，所以在为增函数；

当时，

（i）当时，，所以在上为增函数；

（ii）当时，，所以在上为减函数．

（2）①由（1）知，当时，至多一个零点，不合题意；

当时，的最小值为，

依题意知 ，解得．

一方面，由于，，在为增函数，且函数的图

象在上不间断．

所以在上有唯一的一个零点．

另一方面， 因为，所以．

，令，

当时，，

所以

又，在为减函数，且函数的图象在上不间断．

所以在有唯一的一个零点．

综上，实数的取值范围是．

②设．

又则．

下面证明．

不妨设，由①知．

要证，即证．

因为，在上为减函数，

所以只要证．

又，即证．

设函数．

所以，所以在为增函数.

所以，所以成立．

从而成立.

所以，即成立.