Question

设函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′（x），g′（x）分别是f（x），g（x）的导函数，当x＜0时，f′（x）•g（x）+f（x）•g′（x）＞0且g（-3）=0，则f（x）•g（x）＜0的解集是（　　）

• A、（-3，0）∪（0，3）
• B、（-3，0）∪（3，+∞）
• C、（-∞，-3）∪（3，+∞）
• D、（-∞，-3）∪（0，3）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：根据f（x）、g（x）的奇偶性，可得F（x）=f（x）g（x）是奇函数．由题中的不等式可得F（x）在区间（-∞，0）上是增函数，结合奇函数性质得在区间（0，+∞）上F（x）也是增函数．最后分x＞0和x＜0加以讨论，并结合F（-3）=F（3）=0，可求出不等式f（x）g（x）＜0的解集．

解答： 解：令F（x）=f（x）g（x），
∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴F（x）=f（x）g（x）是定义在R上的奇函数．
又∵当x＜0时F′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0成立，
∴F（x）在区间（-∞，0）上是增函数，可得它在区间（0，+∞）上也是增函数．
∵g（-3）=0可得F（-3）=0，
∴结合F（x）是奇函数可得F（3）=0，
当x＞0时，F（x）=f（x）g（x）＜0即F（x）＜F（3），结合单调性得0＜x＜3；
当x＜0时，F（x）=f（x）g（x）＜0即F（x）＜F（-3），结合单调性得x＜-3．
因此，不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-∞，-3）∪（0，3）．
故选：D．

点评：本题给出函数F（x）=f（x）g（x）的奇偶性和单调性，求不等式f（x）g（x）＜0的解集．着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的单调性与奇偶性的关系等知识点，是中档题．