题目内容

12．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A组”，否则为“B组”，调查结果如下：
A组B组合计
男性262450
女性302050
合计5644100
（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关？
（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“A组”和“B组”的人数；
（3）从（2）中抽取的5人中再随机抽取2人赠送200元的护肤品套装，求这2人中至少有1人在“A组”的概率．
参考公式：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d为样本容量．
参考数据：
P（K2≥k0）0.500.400.250.050.0250.010
k00.4550.7081.3233.8415.0246.635

分析 （1）利用列联表，计算K2，对照数表得出概率结论；
（2）利用分层抽样原理计算从女性中选出5人中“A组”和“B组”的人数；
（3）计算基本事件数，求出对应的概率值．

解答 解：（1）由列联表可得K2=$\frac{100（26×20-30×24）^{2}}{56×44×50×50}$≈0.649＜0.708-----（2分）
没有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关------------------（4分）
（2）由题意得所抽取的5位女性中，“A组”3人，“B组”2人．-------------（6分）
（3）从这5人中任取2人，基本事件空间${C}_{5}^{2}$=10种，全是B组有1种情况，
∴这2人中至少有1人在“A组”的概率是1-$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{10}$．---------------------（12分）

点评 本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题和用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．

练习册系列答案
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2．已知$\overrightarrow a=（{1，2}），\overrightarrow b=（{m，1}）$，若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，则m=（　　）
A．$-\frac{1}{2}$B．-2C．$\frac{1}{2}$D．2
3．已知命题P：若平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{a}$，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$一定共线．命题Q：若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是锐角．则下列选项中是真命题的是（　　）
A．P∧QB．（￢P）∧QC．（￢P）∧（￢Q）D．P∧（￢Q）
20．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，D为棱BB1上一点，E是AB的中点．
（1）若D是BB1的中点，证明：平面ADC1⊥平面A1EC；
（2）若平面ADC1与平面ABC的夹角为45°，求BD的长．
7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，-1），$\overrightarrow{b}$=（2，x），$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影是-$\sqrt{2}$，则实数x=4．
17．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、F、G分别是棱A1B1、AB、A1D1的中点．
（Ⅰ）求证：GE⊥平面FCC1；
（Ⅱ）求二面角B-FC1-C的余弦值．
4．如图所示的三棱柱中，侧面ABB1A1为边长等于2的菱形，且∠AA1B1=60°，△ABC为等边三角形，面ABC⊥面ABB1A1．
（1）求证：A1B1⊥AC1；
（2）求侧面A1ACC1和侧面BCC1B1所成的二面角的余弦值．
1．已知数列{an}满足a1=1，anan+1=2n，n∈N．
（1）若函数f（x）=Asin（2x+ϕ）（A＞0，0＜ϕ＜π）在x=$\frac{π}{6}$处取得最大值a4+1，求函数f（x）在区间$[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$上的值域．
（2）求数列{an}的通项公式．
15．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+（4a-3）x+3a，x＜0}\\{{{log}_a}（x+1）+1，x≥0}\end{array}}\right.（a＞0且a≠1）$在R上单调递减，且关于x的方程$|f（x）|=2-\frac{x}{3}$恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（　　）
A．（0，$\frac{2}{3}$]B．[$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]C．[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]D．[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）

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