Question

15．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+（4a-3）x+3a，x＜0}\\{{{log}_a}（x+1）+1，x≥0}\end{array}}\right.（a＞0且a≠1）$在R上单调递减，且关于x的方程$|f（x）|=2-\frac{x}{3}$恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{2}{3}$]
• B． [$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]
• C． [$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]
• D． [$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 由减函数可知f（x）在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出|f（x）|和y=2-$\frac{x}{3}$的图象，根据交点个数判断3a与2的大小关系，列出不等式组解出．

解答 解：：∵f（x）是R上的单调递减函数，
∴y=x²+（4a-3）x+3a在（-∞，0）上单调递减，y=log_a（x+1）+1在（0，+∞）上单调递减，
且f（x）在（-∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3-4a}{2}≥0}\\{0＜a＜1}\\{3a≥1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{3}≤a≤\frac{3}{4}$．
作出y=|f（x）|和y=2-$\frac{x}{3}$的函数草图如图所示：
∵|f（x）|=2-$\frac{x}{3}$恰有两个不相等的实数解，
∴3a＜2，即a＜$\frac{2}{3}$．
综上，$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{2}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．