Question

3．已知两条直线l₁：y=a和${l_2}：y=\frac{18}{2a+1}$（其中a＞0），l₁与函数y=|log₄x|的图象从左到右相交于点A、B，l₂与函数y=|log₄x|的图象从左到右相交于点C、D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为m、n，当a=$\frac{5}{2}$时，$\frac{n}{m}$取得最小值．

Answer 1

分析 用a表示出A，B，C，D四点的横坐标，计算$\frac{n}{m}$的值，再利用基本不等式求解．

解答 解：（Ⅰ）设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），D（x_D，y_D），
则x${\;}_{A}={4}^{-a}$，${x}_{B}={4}^{a}$，${x}_{C}=4-\frac{18}{2a+1}$，${x}_{D}=4•\frac{18}{2a+1}$，
则$\frac{n}{m}=\frac{{4}^{a}-4•\frac{18}{2a+1}}{{4}^{-a}-{4}^{-\frac{18}{2a+1}}}$=${4}^{a+\frac{18}{2a+1}}$，
令f（a）=log${\;}_{4}\frac{n}{m}$=a+$\frac{18}{2a+1}$=a+$\frac{1}{2}$+$\frac{9}{a+\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$，
∵$a+\frac{1}{2}＞\frac{1}{2}$，
∴$f（a）≥2\sqrt{9}-\frac{1}{2}=\frac{11}{2}$，当且仅当a+$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{a+\frac{1}{2}}$，即a=$\frac{5}{2}$时取等号，
所以当a=$\frac{5}{2}$时，f（a）有最小值，$\frac{n}{m}$也有最小值．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了对数函数的图象，对数运算，基本不等式，属于基础题