Question

【题目】已知函数.

（1）若，求的零点个数；

（2）若，，证明：，.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）将a的值代入f(x)，再求导得，在定义域内讨论函数单调性，再由函数的最小值正负来判断它的零点个数；（2）把a的值代入f(x)，将整理化简为，即证明该不等式在上恒成立，构造新的函数，利用导数可知其在定义域上的最小值，构造函数，由导数可知其定义域上的最大值，二者比较大小，即得证。

（1）解：因为，所以.

令，得或；令，得，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

而，，，

所以的零点个数为1.

（2）证明：因为，从而.

又因为，

所以要证，恒成立，

即证，恒成立，

即证，恒成立.

设，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

所以.

设，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

所以，所以，

所以，恒成立，

即，.