题目内容

【题目】华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取60,名同学（男同学30名，女同学30名），给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）

（1）在犯错误的概率不超过1%是条件下，能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关？

（2）经过多次测试后发现，甲每次解答一道物理题所用的时间5—8分钟，乙每次解答一道物理题所用的时间为6—8分钟，现甲、乙解同一道物理题，求甲比乙先解答完的概率；

（3）现从选择做物理题的8名女生中任意选取两人，对题目的解答情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列和数学期望.

【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.

【解析】分析：（1）根据表中数据利用公式求出，从而得到在犯错误概率不超过的前提下，不能判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关；（2）设甲、乙解答一道物理题的时间分别为分钟，由设甲每次解答一道物理题的时间分别为分钟，乙每次解答一道物理题的时间分别为分钟，利用线性规划由几何概型能求出甲比乙先解答完的概率；（3）由题意知在选择物理题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，可能取值为0,1,2，分别利用古典概型概率公式结合组合知识求出相应的概率，由此能求出的分布列，利用期望公式可得.

详解：(1)由表中数据得的观测值

在犯错误概率不超过1%的前提下，不能判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关.

（2）设甲、乙解答一道物理题的时间分别为分钟，则，设事件为“甲比乙先解答完此题”，则，作出可行域如图

∴.

（3）由题设可知选择做物理题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种，恰有一人被抽到有种，两人都被抽到有种

∴可能取值为0,1,2，

的分布列为

∴

练习册系列答案
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积极参加班级工作

不积极参加班级工作

合计

学习积极性高

18

7

25

学习积极性不高

6

19

25

合计

24

26

50

（1）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？

（2）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取2名学生参加某项活动，问2名学生中有1名男生的概率是多少？

（3）学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由．

附：

【题目】已知函数.

（1）若，求的零点个数；

（2）若，，证明：，.

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