Question

【题目】（本小题满分14分）

已知函数的图象在上连续不断，定义：

，

．

其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．

（Ⅰ）若，，试写出，的表达式；

（Ⅱ）已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；

（Ⅲ）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.

Answer 1

【答案】解：（1）由题意可得：，。

（2），，

当时，

当时，

当时，

综上所述，。

即存在，使得是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。

（3），令得或。

函数的变化情况如下：

x		0		2
	-	0	+	0	-
		0		4

令得或。

（i）当时，在上单调递增，因此，，。因为是上的“二阶收缩函数”，所以，

①对恒成立；

②存在，使得成立。

①即：对恒成立，由解得或。

要使对恒成立，需且只需。

②即：存在，使得成立。

由解得或。

所以，只需。

综合①②可得。

（i i）当时，在上单调递增，在上单调递减，

因此，，，，

显然当时，不成立。

（i i i）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，，，，

显然当时，不成立。

综合（i）（i i）（i i i）可得：

【解析】

试题（1）根据的最大值可求出，的解析式；（2）根据函数，上的值域，先求出，的解析式，再根据求出k的取值范围得到答案.(3)先对函数求导判断函数的单调性，进而写出，的解析式，然后再由求出k的取值范围.

试题解析：

（1）由题意可得：，，，.

（2），，

当时，，∴，；

当时，，∴，∴；

当时，，∴，

综上所述，.即存在，使得是上的“4阶收缩函数”.

（3），令得或.函数的变化情况如下：

令得或.

（1）当时，在上单调递增，因此，，.因为是上的“二阶收缩函数”，所以，

①，对恒成立；

②存在，使得成立.

①即：对恒成立，由解得或.

要使对恒成立，需且只需.

②即：存在，使得成立.

由解得或.所以，只需.

综合①②可得

（2）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，，，，，显然当时，不成立，

（3）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，，，，，显然当时，不成立.

综合（1）（2）（3）可得：.