题目内容
14．已知$\left\{\begin{array}{l}x-4y+3≤0\\ 3x+5y-15≤0\\ x≥1\end{array}\right.$，则$z=\frac{y}{x}$的范围是$[\frac{8}{15}，\frac{12}{5}]$．分析 画出满足约束条件的可行域，求出各角点的坐标，分析目标函数$z=\frac{y}{x}$的几何意义，进而数形结合求出目标函数的取值范围．
解答 
解：满足$\left\{\begin{array}{l}x-4y+3≤0\\ 3x+5y-15≤0\\ x≥1\end{array}\right.$的可行域如下图所示：由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{3x+5y-15=0}\end{array}\right.$，解得A（1，$\frac{12}{5}$），由$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3=0}\\{3x+5y-15=0}\end{array}\right.$解得B（$\frac{45}{17}$，$\frac{24}{17}$）
则$z=\frac{y}{x}$表示可行域内动点（x，y）与O（0，0）点连线的斜率
kOA=$\frac{12}{5}$；kOB=$\frac{\frac{24}{17}}{\frac{45}{17}}$=$\frac{8}{15}$；
故z的范围是$[\frac{8}{15}，\frac{12}{5}]$．
故答案为：$[\frac{8}{15}，\frac{12}{5}]$．
点评 本题考查的知识点是简单的线性规划，角点法是解答此类问题的常用方法，请熟练掌握．
练习册系列答案
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