Question

3．已知函数f（x）（x∈R，且x≠1）的图象关于点（1，0）对称，当x＞1时f（x）=log_a（x-1），且f（3）=-1，则不等式f（x）＞1的解集是（　　）

• A． $（-3，\frac{3}{2}）$
• B． $（-∞，-3）∪（\frac{3}{2}，+∞）$
• C． $（-∞，-1）∪（\frac{3}{2}，+∞）$
• D． $（-∞，-1）∪（1，\frac{3}{2}）$

Answer 1

分析 由题意，f（x）=-f（2-x），当x＞1时f（x）=log_a（x-1），且f（3）=-1，log_a2=-1，可得a=$\frac{1}{2}$，分类讨论，解不等式即可得出结论．

解答 解：由题意，f（x）=-f（2-x），
∵当x＞1时f（x）=log_a（x-1），且f（3）=-1，
∴log_a2=-1，∴a=$\frac{1}{2}$，
∴当x＞1时，不等式f（x）＞1可化为$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-1）＞1，∴1＜x＜$\frac{3}{2}$，
x＜1时，2-x＞1时，不等式f（x）＞1可化为-$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（1-x）＞1，∴x＜-1
故选D．

点评 本题考查不等式的解法，考查对数函数的性质，属于中档题．