Question

19．已知数列{a_n}满足3a_n+1+a_n=4（n∈N*）且a₁=9，其前n项和为S_n，则满足不等式|S_n-n-6|＜$\frac{1}{100}$的最小整数n是6．

Answer 1

分析 利用数列的递推关系式得到新数列是等比数列，求出通项公式以及前n项和，代入不等式，转化求解即可．

解答 解：数列{a_n}满足3a_n+1+a_n=4（n∈N*）可得：3（a_n+1-1）=-（a_n-1），
数列{a_n-1}是等比数列，首项为：8，公比为-$\frac{1}{3}$，可得a_n-1=8×$（-\frac{1}{3}）^{n-1}$，a_n=8×$（-\frac{1}{3}）^{n-1}$+1，
S_n=$\frac{8（1-（-\frac{1}{3}）^{n}）}{1+\frac{1}{3}}$=n+6-6×$（-\frac{1}{3}）^{n}$，
|S_n-n-6|＜$\frac{1}{100}$，可得：6×$\frac{1}{{3}^{n}}$$＜\frac{1}{100}$，即3ⁿ＞200，所以n的最小值为：6．
故答案为：6．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的应用，数列与不等式综合，考查计算能力．