Question

19．设函数f（x）=ax³-x²+5x，a∈R．
（1）当0＜a≤$\frac{1}{15}$时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设φ（x）=（$\frac{1}{3}-a$）x³+2x²-（2a+5）x，并且函数g（x）=f（x）+φ（x）在[-5，-3]上是增函数，求a的取值范围；
（3）若a≠0，且f（x）在区间（5，+∞）的一个子区间上为减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，结合a的范围，求出f′（x）有根，求出方程f′（x）=0的根，从而求出函数f（x）的单调区间；
（2）先求出g（x）的表达式，求出g（x）的导数，问题转化为2a+1≤（x+1）²在x∈[-5，-3]上恒成立，进而求出a的范围即可；
（3）问题转化为存在x∈（5，+∞）使得f′（x）=3ax²-2x+5＜0成立，通过讨论a的范围，求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²-2x+5，
∵0＜a≤$\frac{1}{15}$，
∴△=4-60a=4（1-15a）≥0，
∴令f′（x）=0，解得：x=$\frac{2±2\sqrt{1-15a}}{6a}$=$\frac{1±\sqrt{1-15a}}{3a}$，
∴函数f（x）在（-∞，$\frac{1-\sqrt{1-15a}}{3a}$）和（$\frac{1+\sqrt{1-15a}}{3a}$）递增，在（$\frac{1-\sqrt{1-15a}}{3a}$，$\frac{1+\sqrt{1-15a}}{3a}$）递减；
（2）设φ（x）=（$\frac{1}{3}-a$）x³+2x²-（2a+5）x，
则函数g（x）=f（x）+φ（x）=ax³-x²+5x+（$\frac{1}{3}-a$）x³+2x²-（2a+5）x=$\frac{1}{3}$x³+x²-2ax，
g′（x）=x²+2x-2a，若g（x）在[-5，-3]上是增函数，
则g′（x）=（x+1）²-2a-1≥0在x∈[-5，-3]上恒成立，
即2a+1≤（x+1）²在x∈[-5，-3]上恒成立，
而（x+1）²在[-5，-3]上的最小值是4，
∴只需2a+1≤4即可，解得：a≤$\frac{3}{2}$，
故a的范围是（-∞，$\frac{3}{2}$]；
（3）若a≠0，且f（x）在区间（5，+∞）的一个子区间上为减函数，
则存在x∈（5，+∞）使得f′（x）=3ax²-2x+5＜0成立，
∴a＜0时，显然成立，
当a＞0时：只需△=4-60a＞0，即可，解得：0＜a＜$\frac{1}{15}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，不等式恒成立问题，熟练掌握导数的应用以及二次函数的性质是解题的关键，本题是一道中档题．