Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
（1）若椭圆C的离心率为$\frac{1}{2}$，右准线l的方程为x=4，求椭圆方程；
（2）若椭圆C的下顶点为B，P为椭圆C上任意一点，当P是椭圆C的上顶点时，PB最长，求椭圆C的离心率的范围．

Answer 1

分析 （1）由离心率公式和准线方程，结合a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）由题意可得B（0，-b），设P（acosα，bsinα），由两点的距离公式和同角的平方关系，化为正弦的式子，再设sinα=t（-1≤t≤1），由二次函数的最值求法，即可得到所求范围．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，解得a=2，c=1，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由题意可得B（0，-b），设P（acosα，bsinα），
则|PB|=$\sqrt{{a}^{2}co{s}^{2}α+（bsinα+b）^{2}}$
=$\sqrt{（{b}^{2}-{a}^{2}）si{n}^{2}α+2{b}^{2}sinα+{a}^{2}+{b}^{2}}$，
令sinα=t（-1≤t≤1），由函数y=（b²-a²）t²+2b²t+a²+b²，
对称轴为t=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，由题意可得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$≥1时，
区间[-1，1]为增区间，t=1，即P为上顶点时，取得最大值，
则a²≤2b²=2a²-2c²，即有a²≥2c²，
e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则有离心率的范围是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和准线方程，考查离心率的范围，注意运用椭圆的参数方程和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．