Question

10．已知sinα-cosα=a，求$\frac{1}{sinα}$+$\frac{1}{cosα}$的值．

Answer 1

分析 由已知两边平方，由同角三角函数关系式及二倍角公式可得sin2α=1-a²，可求sinα+cosα=±$\sqrt{2-{a}^{2}}$，将所求通分后代人即可求值．

解答 解：∵sinα-cosα=a，
∴两边平方，由同角三角函数关系式及二倍角公式可得：1-sin2α=a²，即：sin2α=1-a²，
∴sinα+cosα=±$\sqrt{（sinα+cosα）^{2}}$=±$\sqrt{1+sin2α}$=±$\sqrt{2-{a}^{2}}$，
∴$\frac{1}{sinα}$+$\frac{1}{cosα}$=$\frac{sinα+cosα}{sinαcosα}$=$\frac{sinα+cosα}{\frac{1}{2}sin2α}$=$\frac{±\sqrt{2-{a}^{2}}}{\frac{1}{2}×（1-{a}^{2}）}$=±$\frac{2\sqrt{2-{a}^{2}}}{1-{a}^{2}}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式及二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于基础题．