题目内容

10．已知a，b∈R+，且a≠b，设f（n）=an-bn，且f（3）=f（2），求证：1＜a+b＜$\frac{4}{3}$．

分析 （1）由f（3）=f（2），再利用不等式的性质即可得出a+b＞1，使用分析法证明a+b＜$\frac{4}{3}$．

解答 证明：（1）先证a+b＞1，
∵f（3）=f（2），
∴a3-b3=a2-b2．即（a-b）（a2+ab+b2）=（a+b）（a-b），
∵a，b∈R+，且a≠b，
∴a+b=a2+ab+b2＜a2+2ab+b2=（a+b）2，
∴a+b＞1．
（2）再证a+b$＜\frac{4}{3}$，
要证：a+b＜$\frac{4}{3}$，
只须证：3（a+b）2＜4（a+b），
即证：3（a2+2ab+b2）＜4（a2+ab+b2），
即证：a2-2ab+b2＞0．
即证：（a-b）2＞0．
而（a-b）2＞0在a≠b时恒成立．
综上所述，1＜a+b＜$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了不等式的证明方法，属于基础题．

练习册系列答案
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20．给出下列命题：
①对任意x∈R，不等式x2+2x＞4x-3均成立；
②若log2x+logx2≥2，则x＞1；
③“若a＞b＞0且c＜0，则$\frac{c}{a}$＞$\frac{c}{b}$”的逆否命题．
其中真命题只有（　　）
A．①③B．①②C．①②③D．②③
1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-1，2），$\overrightarrow{b}$=（3，1），$\overrightarrow{c}$=（k，4），且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=（　　）
A．（2，12）B．（-2，12）C．14D．10
18．m为何实数时，复数Z=m2-1+（m+1）i．
（1）是实数   （2）是虚数    （3）是纯虚数．
5．已知$\overrightarrow{a}$=（-2，1），$\overrightarrow{b}$=（-1，2），则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（　　）
A．0B．4C．-3D．-1
15．在下列结论中，正确结论的序号为①③．
①函数y=sin（kπ-x）（k∈Z）为奇函数；
②函数$y=tan（{2x+\frac{π}{6}}）$的图象关于点$（{\frac{π}{12}，0}）$对称；
③函数$y=cos（{2x+\frac{π}{3}}）$的图象的对称轴为$x=-\frac{2π}{3}+\frac{kπ}{2}$．
2．设函数f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}$x2-bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0
（ I）求b；
（II）若存在x0≥1，使得f（x0）＜$\frac{a}{1-a}$，求a的取值范围．
19．已知sinα＞0，cosα＜0，则α是第（　　）象限角．
A．第一B．第二C．第三D．第四
20．若cos（$\frac{π}{3}$-θ）=$\frac{1}{3}$，则cos（$\frac{2π}{3}$+θ）-sin2（θ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{5}{9}$．

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