Question

已知函数f（x）=

x2-2x-4

x+2

，x∈[0，1]．
（1）求函数f（x）的值域； 
（2）若f（x）与g（x）=x²-2ax，x∈[0，1]的最小值相同，求实数a的值．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意化简函数的表达式，并判断函数的单调性，从而求值域；
（2）由g（x）=x²-2ax，x∈[0，1]的最小值也为-2初步判断a的取值范围，从而简化讨论，求出实数a的值．

解答： 解：（1）f（x）=

x2-2x-4

x+2

=（x+2）+

4

x+2

-6，
其在[0，1]上是增函数，
故-2≤

x2-2x-4

x+2

≤-

5

3

，
故函数f（x）的值域为[-2，-

5

3

]．
（2）∵函数f（x）=

x2-2x-4

x+2

，x∈[0，1]的最小值为-2，
∴g（x）=x²-2ax，x∈[0，1]的最小值也为-2；
又∵g（x）=（x-a）²-a²，∴-a²≤-2，且a＞0；
即a≥

2

．
故g（x）=x²-2ax在[0，1]上是减函数，
则g（1）=1-2a=-2，解得，
a=

3

2

．

点评：本题考查了函数的值域的求法，用到了分离常数的方法，及函数的单调性，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．