Question

4．已知数列{a_n}满足：a_n+1=2a_n，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n（n∈N^*），求使b₁+b₂+…+b_n＞45成立的最小整数n．

Answer 1

分析 （I）由数列{a_n}满足：a_n+1=2a_n，数列{a_n}的公比q=2，a₁，a₂+1，a₃成等差数列，可得2（a₂+1）=a₁+a₃．解得a₁．利用等比数列的通项公式即可得出a_n．
（Ⅱ）由（I）可知b_n=log₂a_n=n，数列{b_n}为等差数列，根据等差数列前n项和公式，将b₁+b₂+…+b_n＞45转化成$\frac{n（n+1）}{2}$＞45，解得n的取值范围，求得不等式成立的最小正整数n．

解答 解：（Ⅰ）因为a_n+1=2a_n，
所以数列{a_n}为公比为2的等比数列，
由已知：a₁，a₂+1，a₃成等差数列，即2（a₂+1）=a₁+a₃，
2（2a₁+1）=a₁+4a₁，
所以a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）b_n=log₂a_n=n，
所以b_n-b_n-1=1，
数列{b_n}为等差数列，
b₁+b₂+…+b_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{n（n+1）}{2}$＞45，即：n²+n-90＞0
解得：n＞9，
求使b₁+b₂+…+b_n＞45成立的最小整数n=10．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．