Question

15．证明：$\sqrt{1}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{n}$＜$\frac{2}{3}$[（n+1）$\sqrt{n+1}$-1]．

Answer 1

分析 运用数学归纳法证明不等式，先验证n=1，不等式成立；假设n=k，k∈N*时，不等式$\sqrt{1}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{k}$＜$\frac{2}{3}$[（k+1）$\sqrt{k+1}$-1]成立．证明n=k+1时，不等式$\sqrt{1}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{k}$+$\sqrt{k+1}$＜$\frac{2}{3}$[（k+2）$\sqrt{k+2}$-1]成立．注意运用假设和不等式的传递性，由分析法即可得证．

解答 证明：运用数学归纳法证明．
当n=1时，不等式的左边=$\sqrt{1}$=1，右边=$\frac{2}{3}$（2$\sqrt{2}$-1）＞1.2＞1，不等式成立；
假设n=k，k∈N*时，不等式$\sqrt{1}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{k}$＜$\frac{2}{3}$[（k+1）$\sqrt{k+1}$-1]成立．
当n=k+1时，不等式的左边=$\sqrt{1}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{k}$+$\sqrt{k+1}$
＜$\frac{2}{3}$[（k+1）$\sqrt{k+1}$-1]+$\sqrt{k+1}$，
要证$\frac{2}{3}$[（k+1）$\sqrt{k+1}$-1]+$\sqrt{k+1}$＜$\frac{2}{3}$[（k+2）$\sqrt{k+2}$-1]，
只要证（k+$\frac{5}{2}$）$\sqrt{k+1}$＜（k+2）$\sqrt{k+2}$，
两边平方即为（k+$\frac{5}{2}$）²（k+1）＜（k+2）²（k+2），
即为k³+6k²+$\frac{45}{4}$k+$\frac{25}{4}$＜k³+6k²+12k+8，
即有$\frac{3}{4}$k+$\frac{7}{4}$＞0，显然成立．
则n=k+1时，不等式$\sqrt{1}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{k}$+$\sqrt{k+1}$＜$\frac{2}{3}$[（k+2）$\sqrt{k+2}$-1]成立．
综上可得，对n为任意自然数，都有$\sqrt{1}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{n}$＜$\frac{2}{3}$[（n+1）$\sqrt{n+1}$-1]．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用数学归纳法证明，结合分析法证明，考查运算和推理能力，属于中档题．