Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，斜率为

3

的直线过F与椭圆交于M、N，且向量

MF

=2

FN

，求离心率．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设F（-c，0），直线MN的方程为y=

3

（x+c），代入椭圆方程，消去y，运用韦达定理，再由向量

MF

=2

FN

，得到-c-x₁=2（x₂+c），消去x₂，得到9c²b²+3a²c²=a²b²+3a⁴，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到．

解答： 解：设F（-c，0），直线MN的方程为y=

3

（x+c），
代入椭圆方程，消去y，得（b²+3a²）x²+6ca²x+3a²c²-a²b²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则x₁+x₂=-

6ca2

b2+3a2

，①x₁x₂=

3a2c2-a2b2

b2+3a2

，②
由于向量

MF

=2

FN

，则-c-x₁=2（x₂+c），即有x₁=-2x₂-3c，③
则③分别代入①，②，消去x₂，即得，9c²b²+3a²c²=a²b²+3a⁴，
代入b²=a²-c²，即得，9c⁴-13a²c²+4a⁴=0，
由于e=

c

a

，即有9e⁴-13e²+4=0，
则e²=

4

9

或e²=1（舍去0），
则e=

2

3

．
故离心率为

2

3

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理，以及向量坐标的运算，考查运算能力，属于中档题．