题目内容
3．设函数f（x）=$\frac{x}{2}$+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列{xn}．（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）令bn=$\frac{x_n}{2π}$，设数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和为sn，求证Sn＜$\frac{3}{2}$．
分析 （1）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得区间；导数小于0，可得减区间；可得极小值，进而得到所求通项公式；
（2）求得bn=$\frac{x_n}{2π}$=$n-\frac{1}{3}=\frac{3n-1}{3}$，$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{3}{3n-1}$•$\frac{3}{3n+2}$，运用裂项相消求和，以及不等式的性质即可得证．
解答 解：（1）f（x）=$\frac{x}{2}$+sinx，
令$f'（x）=\frac{1}{2}+cosx=0$，得$x=2kπ±\frac{2π}{3}$（k∈Z），
f'（x）＞0⇒$2kπ-\frac{2π}{3}＜x$$＜2kπ+\frac{2π}{3}$（k∈Z），
f'（x）＜0⇒$2kπ+\frac{2π}{3}＜x$$＜2kπ+\frac{4π}{3}$（k∈Z），
当$x=2kπ-\frac{2π}{3}$（k∈Z）时，f（x）取得极小值，
所以${x_n}=2nπ-\frac{2π}{3}$（n∈N*）；
（2）证明：∵bn=$\frac{x_n}{2π}$=$n-\frac{1}{3}=\frac{3n-1}{3}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{3}{3n-1}$•$\frac{3}{3n+2}$=$3（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，
∴${s_n}=3（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}$$+…+\frac{1}{{3n-{1^{\;}}}}-\frac{1}{3n+2}）$=$3（\frac{1}{2}-\frac{1}{{3n+{2^{\;}}}}）$=$\frac{3}{2}-\frac{3}{3n+2}$，
∴${s_n}＜\frac{3}{2}$．
点评 本题考查导数的运用：求极值，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查不等式的证明，注意运用不等式的性质，属于中档题．
阅读快车系列答案| A． | $|{\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}}|$ | B． | $|{\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}}|$ | C． | $|{\begin{array}{l}0\\ 0\end{array}}|$ | D． | $|{\begin{array}{l}1\\{-1}\end{array}}|$ |
| 分组（重量） | [80，85） | [85，90） | [90，95） | [95，100） |
| 频数（个） | x | 10 | 20 | 15 |
（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？
（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量之差的绝对值大于5的概率．
| A． | $\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$ | B． | $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$ | C． | $\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$ | D． | $\frac{{16\sqrt{6}}}{3}$ |
