题目内容

18．已知a，b为实数，i为虚数单位，且满足a+bi=（1+2i）（3-i）+$\frac{1+i}{1-i}$．
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数z=（m-a）+（m-b）i在复平面所对应的点在直线y=2x上，求实数m的值．

分析 （1）利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由复数相等的条件得答案；
（2）求出z的坐标，代入已知直线求得m值．

解答 解：（1）∵a+bi=（1+2i）（3-i）+$\frac{1+i}{1-i}$=3-i+6i+2+$\frac{（1+i）^{2}}{（1-i）（1+i）}$=5+6i，
∴a=5，b=6；
（2）∵z=（m-a）+（m-b）i=（m-5）+（m-6）i对应的点（m-5，m-6）在直线y=2x上，
∴m-6=2（m-5），解得m=4．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．

练习册系列答案
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8．由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y与时间x的关系，可近似地表示为y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{16}{x+2}-x+8，0≤x≤2}\\{4-x，2＜x≤4}\end{array}\right.$．只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用．
（1）判断函数的单调性（不必证明）；
（2）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？
（3）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值．
9．若x0∈R满足f（x0）=x0，则称x0为f（x）的不动点．
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（2）若函数f（x）=-lnx+3的不动点x0∈[n，n+1），n∈Z，求n的值．
6．观察下列数的特点：在1，2，2，3，3，3，4，4，4，4…中，第100项的值是14．
13．已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（　　）
A．$\frac{32π}{3}$B．4πC．2πD．$\frac{4π}{3}$
3．设函数f（x）=$\frac{x}{2}$+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列{xn}．
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）令bn=$\frac{x_n}{2π}$，设数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和为sn，求证Sn＜$\frac{3}{2}$．
10．观察下列等式：
1=1                     第一个式子
2+3+4=9                 第二个式子
3+4+5+6+7=25            第三个式子
4+5+6+7+8+9+10=49       第四个式子
照此规律下去：
（Ⅰ）写出第五个等式；
（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．
7．抛物线y=ax2的准线方程是（　　）
A．$y=-\frac{a}{2}$B．$y=-\frac{a}{4}$C．$y=-\frac{1}{2a}$D．$y=-\frac{1}{4a}$
8．（x-$\frac{1}{{x}^{2}}$）6的展开式的常数项是15．

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