Question

1．已知双曲线的一个焦点的坐标是（$\sqrt{13}$，0），且过点（3，0），
（1）求双曲线的方程；
（2）已知经过点E（1，2）的直线l与双曲线交于A，B两点，使得$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{EB}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线的交点坐标以及过定点，确定a，c的值即可得到结论．
（2）设出A，B的坐标，利用直线和双曲线进行联立方程，利用设而不求的思想结合中点坐标公式进行求解即可．

解答 解：（1）∵双曲线的一个焦点的坐标是（$\sqrt{13}$，0），且过点（3，0），
∴由题知c=$\sqrt{13}$，a=3，∴b=2，
即双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$
（2）∵$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{EB}$
可知E（1，2）是A，B的中点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{9}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
两式作差得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}$-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{9}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，
即∴$\frac{4}{9}\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=1}\\{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∴$k=\frac{2}{9}$
又因为过E点，所以直线的方程为 2x-9y+16=0．

点评 本题主要考查双曲线方程以及直线与双曲线相交的位置关系的应用，联立方程组利用消元法以及设而不求的思想是解决本题的关键．