Question

圆C：x²+y²-2x-2y-7=0，设P是该圆的过点（3，3）的弦的中点，则动点P的轨迹方程是

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,直线与圆

分析：由题意求出圆C的圆心为C（1，1），设A（3，3），由垂径定理得PC⊥AP，可得点P在以AC为直径的圆上运动．根据两点间的距离公式与中点坐标公式，求出以AC为直径的圆的圆心为B（2，2）、半径R=

2

，得到其方程为为（x-2）²+（y-2）²=2，即为动点P的轨迹方程．

解答： 解：∵圆C：x²+y²-2x-2y-7=0，化成标准方程得（x-1）²+（y-1）²=9，
∴圆心为C（1，1），半径r=3．
设A（3，3），连结PC
∵P是该圆的过点（3，3）的弦的中点，
∴PC⊥AP，可得点P在以AC为直径的圆上运动．
∵|AC|=

(3-1)2+(3-1)2

=2

2

，AC的中点为B（2，2）
∴以AC为直径的圆的圆心为B（2，2），半径R=

1

2

|AC|=

2

，
其方程为（x-2）²+（y-2）²=2，即为动点P的轨迹方程．
故答案为：（x-2）²+（y-2）²=2

点评：本题给出经过定点的直线与已知圆相交，求截得弦的中点轨迹方程．着重考查了垂径定理、两点间的距离公式和中点坐标公式等知识，考查了轨迹方程的求法，属于中档题．