Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 根据向量的数量积公式以模的计算公式和向量的夹角公式即可求出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos$\frac{π}{3}$=2×1×$\frac{1}{2}$=1，
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）=|$\overrightarrow{a}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4+2×1=6，|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|²=$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow{b}$²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4+4+4=12，
∴|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$，
设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|}$=$\frac{6}{2×2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{π}{6}$，
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．