Question

已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.
（1）求该椭圆的方程；
（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）；（2）抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．

试题分析：（1）求椭圆的方程，可利用待定系数法求出的值即可，首先确定抛物线的焦点与准线方程为，利用椭圆焦点与抛物线的焦点重合，得，且截抛物线的准线所得弦长为，得交点为，建立方程，求出的值，即可求得椭圆的方程；（2）根据倾斜角为的直线过点，可得直线的方程，由（1）知椭圆的另一个焦点为，利用与关于直线对称，利用对称，可求得的坐标，由此可得结论．
试题解析：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，
∴    ①                         2分
又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，
∴ 得上交点为，∴    ②         4分
由①代入②得，解得或（舍去），
从而 
∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为         6分
（2）∵ 倾斜角为的直线过点，
∴ 直线的方程为，即，         7分
由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得  ，                     9分
解得，即，                    2分
又满足，故点在抛物线上。所以抛物线上存在一点，使得与关于直线对称。             13分