Question

已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点,且椭圆的长轴长为4，M、N是椭圆上的的动点.
（1）求椭圆标准方程；
（2）设动点满足：，直线与的斜率之积为，证明：存在定点使
得为定值，并求出的坐标；
（3）若在第一象限，且点关于原点对称，垂直于轴于点，连接 并延长交椭圆于点，记直线的斜率分别为，证明：.

Answer 1

（1）；（2）存在使得;（3）证明过程详见试题解析.

试题分析：（1）由双曲线的焦点与椭圆的焦点重合求出椭圆中的，再由，求出所求椭圆方程为；（2）先设，由,结合椭圆的标准方程可以得到使得为定值；（3）要证明就是要考虑,详见解析.
试题解析：（1）由题设可知：因为抛物线的焦点为，
所以椭圆中的又由椭圆的长轴为4得
故   
故椭圆的标准方程为： 
（2）设，
由可得：
   
由直线OM与ON的斜率之积为可得：
 ，即  
由①②可得： 
M、N是椭圆上的点，故
故，即 
由椭圆定义可知存在两个定点，
使得动点P到两定点距离和为定值;
（3）设，由题设可知 ，
由题设可知斜率存在且满足.
  
将③代入④可得：⑤
点在椭圆，
故