Question

5．如图：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，且与C在
底面A₁B₁C₁上的射影D₁为A₁C₁边的中点，D为AC的中点．
（1）求证：BD丄平面ACC₁A₁；
（2）设CC₁、B₁C₁的中点分别为E、M，求V${\;}_{C-E{D}_{1}M}$的值．

Answer 1

分析 （1）证明B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，B₁D₁平行且等于BD，即可证明BD丄平面ACC₁A₁；
（2）利用等体积转换求V${\;}_{C-E{D}_{1}M}$的值．

解答 （1）证明：∵点C在底面A₁B₁C₁上的射影D₁，
∴CD₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴B₁D₁⊥CD₁，…（2分）
∵∠ABC=90°，∠A₁B₁C₁=90°，AB=BC，∴B₁D₁⊥A₁C₁，
∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，…（4分）
连接DD₁，B₁D₁，
∵DD₁平行且等于BB₁，
∴四边形BB₁D₁D为平行四边形，
∴B₁D₁平行且等于BD，
∴BD丄平面ACC₁A₁；…（6分）
（2）解：取D₁C₁的中点N，∴MN⊥D₁C₁，…（7分）
又MN⊥CD₁，∴MN⊥平面CD₁E…（8分）
∴V${\;}_{C-E{D}_{1}M}$=${V}_{M-C{D}_{1}E}$=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{2}•\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确转换是关键．