Question

已知椭圆C的方程为，其离心率为，经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：与椭圆C交于A、B两点，P为椭圆上的点，O为坐标原点，且满足，求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）． （Ⅱ） 。

解析试题分析：（Ⅰ）由已知可得，
所以
又
解之得
故椭圆的方程为．       5分
（Ⅱ） 由消y化简整理得：，
 ①  
设点的坐标分别为，
         8分
由于点在椭圆上，所以 ．
从而，化简得，经检验满足①式．
又
 
因为，得3≤4k²＋3≤4，
有≤≤1，故        12分
考点：椭圆的标准方程，平面向量的线性运算，直线与椭圆的位置关系。
点评：中档题，确定圆锥曲线的标准方程，往往利用几何特征，确定a,b,c,e得到关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题利用韦达定理，简化了计算过程。