Question

已知A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点.
(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积；
(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由。

Answer 1

(I).
(II)当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. 

解析试题分析：
思路分析：(I)根据四边形OABC为菱形, AC与OB相互垂直平分. 注意确定.
(II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为.
由消去应用韦达定理确定AC的中点为M(,).
得到直线OB的斜率为. 因为,所以AC与OB不垂直.所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. 
解：(I)椭圆W:的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1,),代入椭圆方程得,即. 所以菱形OABC的面积是.
(II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为.
由消去并整理得.
设A,C,则,.
所以AC的中点为M(,).
因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为.
因为,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. 
考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，菱形的性质。
点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往通过联立方程组，应用韦达定理，简化解题过程。