题目内容
已知
，曲线
上任意一点
分别与点
、
连线的斜率的乘积为
．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设直线
与
轴、
轴分别交于
、
两点，若曲线与直线
没有公共点，求证：
．
（Ⅰ）
，
．
（Ⅱ）由
得
，利用曲线与直线没有公共点，
，得到
，利用
，
，及均值定理确定
，
从而证得
．
解析试题分析：（Ⅰ）设曲线上任意一点的坐标为
．利用依题意点分别与点、连线的斜率的乘积为，转化成代数式，整理可得．
（Ⅱ）由得
，利用曲线与直线没有公共点，，得到，利用，，及均值定理确定
，
从而证得．
试题解析：（Ⅰ）设曲线上任意一点的坐标为．
依题意
，且， ３分
整理得．所以，曲线的方程为：，． 5分
（Ⅱ）由得
，
， 7分
由已知条件可知，，所以，
从而
， 即． 13分
考点：1、求轨迹方程，2、直线与椭圆的位置关系，3、均值定理的应用.
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方程为
，过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为
.
为椭圆的左右两个顶点，
为椭圆在第一象限内的一点，
为过点
且垂直
轴的直线，点
为直线
与直线
为以
为直径的圆与直线
的一个交点，求证：
三点共线.
、
，若动点
满足
．
的方程；
，使点
的距离最小．
为抛物线
的焦点，抛物线上点
满足
的方程；
点的坐标为(
,
)，过点F作斜率为
的直线与抛物线交于
、
两点，
，连结
、
并延长交抛物线于
、
两点，设直线
的斜率为
,问
是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由.
，求证：O、
中，经过点
的动直线
，与椭圆
：
（
）相交于
，
两点. 当
轴时，
，当
轴时，
．
的中点为
，且
，求直线
且与直线
相切的动圆的圆心轨迹为
．点
、
在轨迹
轴对称，过线段
（两端点除外）上的任意一点作直线
，使直线
、
．
；
的距离等于
，且△
的面积为20，求直线
的方程．
，其离心率为
，经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为3．
与椭圆C交于A、B两点，P为椭圆上的点，O为坐标原点，且满足
，求
的取值范围．