已知椭圆:的右焦点在圆上.直线交椭圆于.两点.(Ⅰ) 求椭圆的方程,(Ⅱ) 若OM⊥ON(为坐标原点).求的值,(Ⅲ) 设点关于轴的对称点为(与不重合).且直线与轴交于点.试问的面积是否存在最大值?若存在.求出这个最大值,若不存在.请说明理由．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知椭圆：的右焦点在圆上，直线交椭圆于、两点.
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 若OM⊥ON(为坐标原点)，求的值；
(Ⅲ) 设点关于轴的对称点为（与不重合），且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

（1）
（2）
(3) 的面积存在最大值

解析试题分析：解(Ⅰ) 由题设知，圆的圆心坐标是，半径为，
故圆与轴交与两点，.……………1分
所以，在椭圆中或，又，
所以，或 (舍去，∵),    3分
于是，椭圆的方程为.   4分
(Ⅱ) 设，；
直线与椭圆方程联立,
化简并整理得.   5分
∴，,∴，
.……7分
∵，∴,即得
∴，，即为定值. 9分
(Ⅲ) ∵，
∴直线的方程为.…………10分
令，则
,
∴ 11分
∴
当且仅当即时等号成立.
故的面积存在最大值.……………13分
(或: , 令，
则. 12分
当且仅当时等号成立，此时.
故的面积存在最大值.   13分
考点：直线与椭圆的位置关系
点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。

练习册系列答案

相关题目

已知椭圆C的方程为，其离心率为，经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：与椭圆C交于A、B两点，P为椭圆上的点，O为坐标原点，且满足，求的取值范围．

设F为抛物线E: 的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，已知且.
(1)求抛物线方程；
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线相交于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。

如图，双曲线与抛物线相交于，直线AC、BD的交点为P（0，p）。

（I）试用m表示
（II）当m变化时，求p的取值范围。

如图，在矩形中，分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设,．

（Ⅰ）求直线与的交点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过圆上一点作圆的切线与轨迹交于两点，若，试求出的值．

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。
（I）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；
（II）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。

设椭圆的左焦点为，直线与轴交于点，过点且倾斜角为30°的直线交椭圆于两点．
（Ⅰ）求直线和椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：点在以线段为直径的圆上；
（Ⅲ）在直线上有两个不重合的动点，以为直径且过点的所有圆中，求面积最小的圆的半径长．

已知点P（4， 4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．

（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，且过双曲线的顶点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）命题：“设、是双曲线上关于它的中心对称的任意两点，为该双曲线上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值”．试类比上述命题，写出一个关于椭圆的类似的正确命题，并加以证明和求出此定值；
（3）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于方程（，不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题（不必证明）.

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