Question

已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

x=2+2cosθ y=2sinθ

（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin(θ+

π

4

)=0．则曲线C在极坐标系中的方程是

 

；直线l被曲线C截得的弦长为

 

．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）利用sin²θ+cos²θ=1可把曲线C的参数方程化为（x-2）²+y²=4，即x²-4x+y²=0．
（2）直线l的方程为ρsin(θ+

π

4

)=0．展开为

2

2

(ρsinθ+ρcosθ)=0，可化为x+y=0，再利用点到直线的距离公式、弦长公式即可得出．

解答： 解：（1）曲线C的参数方程为

x=2+2cosθ y=2sinθ

（θ为参数），利用sin²θ+cos²θ=1可化为（x-2）²+y²=4，即x²-4x+y²=0．
∴曲线C在极坐标系中的方程为ρ²-4ρcosθ=0，
由于ρ=4cosθ包含ρ=0的情况，
∴曲线C在极坐标系中的方程为ρ=4cosθ．
（2）∵直线l的方程为ρsin(θ+

π

4

)=0．展开为

2

2

(ρsinθ+ρcosθ)=0，可化为x+y=0，
∴圆C的圆心C（2，0）到直线l的距离为d=

2

，
又∵圆C的半径为r=2，
∴直线l被曲线C截得的弦长l=2

r2-d2

=2

2

．

点评：本题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程、直线的极坐标方程、直线与圆相交问题、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题．