Question

已知y=f（x）为R上的奇函数，且满足f（2+x）=f（2-x），f（6）=3，若sinα=2cosα，则f（2013sin²α-sinαcosα）=

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：由商的关系求出tanα=2，再由平方关系求出2013sin²α-sinαcosα的值，根据f（2+x）=f（2-x），及奇函数的定义，可得f（x）为周期为8的函数，再由周期即可得到所求值．

解答： 解：∵sinα=2cosα，∴tanα=2，
则2013sin²α+sinα•cosα=

2013sin2α-sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2013tan2α-tanα

tan2α+1

=

2013×4-2

4+1

=1610，
∵f（x+2）=f（2-x），则f（-x）=f（x+4），
y=f（x）为R上的奇函数，则f（-x）=-f（x），
即有f（4+x）=-f（x），即有f（x+8）=-f（x+4）=f（x）．
则f（x）是以8为最小正周期的函数，
即有f（1610）=f（8×201+2）=f（2），
令x=4代入f（x+2）=f（2-x），得f（6）=f（-2）
∵f（6）=3，∴f（-2）=3，则f（2）=-f（-2）=-3．
即有f（2013sin²α-sinαcosα）=-3．
故答案为：-3．

点评：本题主要考查了同角的商数关系和平方关系的应用，即由正切的值求有关三角函数式的值的转化，同时考查函数的奇偶性和对称性，属于中档题．